Exercice résolu : application du produit scalaire

Énoncé

Dans un carré \(\text A\text B\text C\text D\), on considère \(\text E\) et \(\text F\) les milieux respectifs des segments \([\text A\text B]\) et \([\text B\text C]\).
La situation est illustrée dans le fichier de géométrie dynamique ci-dessous où ont été tracés les segments \([\text A\text F]\) et \([\text D\text E]\).
En déplaçant le point \(\text{B}\), conjecturer la position relative des droites \((\text A\text F)\) et \((\text D\text E)\). Valider ou réfuter cette conjecture à l'aide du produit scalaire.

Il semblerait que les droites \((\text A\text F)\) et \((\text D\text E)\) soient perpendiculaires.
En effet, d'après le cours, nous savons que les droites \((\text A\text F)\) et \((\text D\text E)\) sont perpendiculaires si et seulement si \(\overrightarrow{\text{AF}}\cdot\overrightarrow{\text{DE}}=0.\)

Calculons le produit scalaire \(\overrightarrow{\text{AF}}\cdot\overrightarrow{\text{DE}}\) en utilisant la relation de Chasles et des décompositions bien choisies des vecteurs \(\overrightarrow{\text{AF}}\) et \(\overrightarrow{\text{DE}}\) pour exploiter le fait que \(\text{ABCD}\) est un carré.
\(\overrightarrow{\text{AF}}\cdot\overrightarrow{\text{DE}}=(\overrightarrow{\text{A}\color{green}{\text{B}}}+\overrightarrow{\color{green}{\text{B}}\text{F}})\cdot(\overrightarrow{\text{D}\color{blue}{\text{A}}}+\overrightarrow{\color{blue}{\text{A}}\text{E}}) \\ \hphantom{\overrightarrow{\text{AF}}\cdot\overrightarrow{\text{DE}}}=\overrightarrow{\text{AB}}\cdot\overrightarrow{\text{DA}}+\overrightarrow{\text{AB}}\cdot\overrightarrow{\text{AE}}+\overrightarrow{\text{BF}}\cdot\overrightarrow{\text{DA}}+\overrightarrow{\text{BF}}\cdot\overrightarrow{\text{AE}}\)

Or, en notant \(a\) la longueur du côté du carré \(\text{ABCD}\) :

• \(\text{ABCD}\) étant un carré, les vecteurs \(\overrightarrow{\text{AB}}\) et \(\overrightarrow{\text{DA}}\) sont orthogonaux, donc \(\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{DA}}=0\).
  De même, on a \(\overrightarrow{\text{BF}} \cdot \overrightarrow{\text{AE}}=0\).
  
• les vecteurs \(\overrightarrow{\text{AB}}\) et \(\overrightarrow{\text{AE}}\) sont colinéaires de même sens donc : \(\overrightarrow{\text{AB}}\cdot\overrightarrow{\text{AE}}=\Vert \overrightarrow{\text{AB}}\Vert \times \Vert \overrightarrow{\text{AE}}\Vert=a \times \dfrac12a=\dfrac12 a^2\).
• les vecteurs \(\overrightarrow{\text{BF}}\) et \(\overrightarrow{\text{DA}}\) sont colinéaires de sens contraire donc : \(\overrightarrow{\text{BF}}\cdot\overrightarrow{\text{DA}}=-\Vert \overrightarrow{\text{BF}}\Vert \times \Vert \overrightarrow{\text{DA}}\Vert=-\dfrac12 a \times a=-\dfrac12 a^2\).
  

Finalement, \(\overrightarrow{\text{AF}}\cdot\overrightarrow{\text{DE}}=0+\dfrac{1}{2}a^2-\dfrac{1}{2}a^2+0=0\).
Les vecteurs \(\overrightarrow{\text{AF}}\) et \(\overrightarrow{\text{DE}}\) sont par conséquent orthogonaux et les droites \((\text A\text F)\) et \((\text D\text E)\) sont donc bien perpendiculaires.